Родился 13 ноября 1999 года в Бристоле, вырос в Гластонбери на юго-западе Англии. В картинг пришёл в 2008 году: в 2012-м выиграл британскую серию Formula Kart Stars, в 2013-м стал чемпионом Европы в классе KF-Junior, а в 2014-м — чемпионом мира в классе KF. В 2015 году, в первый же сезон на формулах, выиграл британскую MSA Formula (Формула-4), а в 2016-м за один год собрал три титула: Toyota Racing Series в Новой Зеландии, Еврокубок Формулы-Renault 2.0 и её североевропейский чемпионат.
В 2017 году, в семнадцать лет, вошёл в программу подготовки пилотов McLaren и выиграл европейскую Формулу-3 с командой Carlin: девять побед и восемь поулов за сезон, титул оформлен в Хоккенхайме 14 октября 2017 года — самым молодым чемпионом в истории серии. В 2018 году стал тест- и резервным пилотом McLaren и на Гран-при Бельгии впервые провёл за команду первую практику. Параллельно в Формуле-2 с той же Carlin выиграл первую гонку сезона в Бахрейне и закончил чемпионат вторым вслед за Джорджем Расселлом.
Дебютировал в чемпионате мира на Гран-при Австралии 17 марта 2019 года за McLaren — с восьмого места на старте финишировал двенадцатым. Первые очки набрал через две недели, 31 марта 2019 года в Бахрейне: шестое место после старта с девятой позиции. За первый сезон одиннадцать раз финишировал в очках.
Первый подиум взял в первой же гонке 2020 года: на Гран-при Австрии 5 июля 2020 года стартовал третьим и третьим финишировал. В 2021 году трижды был третьим — в Имоле 18 апреля, в Монако 23 мая и в Австрии 4 июля, — а на Гран-при Италии 12 сентября 2021 года McLaren привёз дубль: Даниэль Риккардо первый, Норрис второй.
Первый поул выиграл на Гран-при России 26 сентября 2021 года в Сочи и большую часть гонки лидировал, но на последних кругах пошёл дождь. Норрис остался на сликах, съехал с трассы и финишировал седьмым; победа досталась Льюису Хэмилтону.
Сезон 2022 года принёс один подиум — третье место на Гран-при Эмилии-Романьи 24 апреля 2022 года. В 2023 году McLaren прибавила по ходу чемпионата: начиная с Гран-при Великобритании 9 июля 2023 года, где Норрис стартовал и финишировал вторым, он до конца сезона семь раз поднимался на подиум — в Венгрии, Сингапуре, Японии, Катаре, США и Бразилии — и закончил год шестым в личном зачёте.
Первую победу одержал на Гран-при Майами 5 мая 2024 года, стартовав пятым. На Гран-при Испании 23 июня 2024 года взял первый поул после Сочи, а всего в 2024 году восемь раз стартовал с первой позиции. Три следующие победы пришли с поула: Гран-при Нидерландов 25 августа, Сингапура 22 сентября и Абу-Даби 8 декабря 2024 года.
Чемпионат закончил вторым вслед за Максом Ферстаппеном. Кубок конструкторов решился в последней гонке: победа Норриса в Абу-Даби 8 декабря 2024 года удержала McLaren впереди Ferrari и принесла команде первый титул с 1998 года.
Сезон 2025 года открыл победой с поула на Гран-при Австралии 16 марта 2025 года. Затем выиграл Гран-при Монако 25 мая и Австрии 29 июня — обе гонки с поула, — а 6 июля 2025 года впервые победил на домашнем Гран-при Великобритании в Сильверстоуне. 3 августа добавил Гран-при Венгрии.
После схода на Гран-при Нидерландов 31 августа 2025 года отставание от напарника Оскара Пиастри, лидировавшего в чемпионате, выросло. Осенью Норрис выиграл с поула Гран-при Мехико 26 октября и Гран-при Сан-Паулу 9 ноября 2025 года, а в Лас-Вегасе 23 ноября был дисквалифицирован после финиша. Титул оформил третьим местом на Гран-при Абу-Даби 7 декабря 2025 года, опередив Ферстаппена и Пиастри. Стал первым чемпионом мира за McLaren с 2008 года; команда второй год подряд выиграла Кубок конструкторов.
В 2026 году выступает за McLaren восьмой сезон подряд, под первым номером и в паре с Оскаром Пиастри; чемпионат идёт по новому техническому регламенту — с активной аэродинамикой и силовыми установками, где на электрическую часть приходится около половины мощности. Сезон открыл пятым местом на Гран-при Австралии 8 марта 2026 года, а на Гран-при Китая 15 марта обе McLaren не смогли выехать на старт из-за неполадок с силовой установкой — первая гонка в карьере Норриса, которую он пропустил. 20 апреля 2026 года получил премию Laureus как прорыв года.
Второе место в Майами 3 мая 2026 года и третье на Гран-при Барселоны 14 июня стали первыми подиумами года; в Канаде 24 мая и в Монако 7 июня сошёл. Первую победу сезона одержал с поула на Гран-при Венгрии 26 июля 2026 года, вторую — тоже с поула — на Гран-при Нидерландов 23 августа. 29 августа 2026 года McLaren объявила о продлении контракта с ним как минимум до конца 2030 года. 13 сентября 2026 года на новой трассе в Мадриде стартовал с поула и финишировал третьим, а на следующий день проехал 38 кругов на гиперкаре McLaren MCL-HY на тестах в Портимане.